Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x} - \ln (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x} - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$- x^{- 2} - \frac{1}{x}$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Schritt 1.1.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, x^{2}, 1$

Schritt 2.2.2

Da $x, x^{2}, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{1}, x^{2}$ .

Schritt 2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.2.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.2.6

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 2.2.7

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 2.2.8

Das kgV von $x^{1}, x^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- x - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$- x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- x - 1 = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$- x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 1$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x = - 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.3.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $\frac{1}{x} - \ln (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$\frac{1}{- 1} - \ln (- 1)$

Schritt 4.1.2

Der natürliche Logarithmus einer negativen Zahl ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{1}{0} - \ln (0)$

Schritt 4.2.2

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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