Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} - 3 x}{x + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 3 x$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x] - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3 \cdot 1) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 1) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.1

Multipliziere $(x + 1) (2 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x - 3) + 1 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 + 1 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.1.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 2 x + 1 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 2 x - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.2

Addiere $- 3 x$ und $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 3 - x^{2} + 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - x - 3 + 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Addiere $- x$ und $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 1.3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)] - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)] - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)] - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x + 3$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 1) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 1) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (1 + 0)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.4.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1 + (x + 3) \cdot 1) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.8.2

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1 + x + 3) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1 + 3) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.8.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ heraus.

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2} (2 x + 2)$ heraus.

$\frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.2.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $- 2 (x - 1) (x + 3) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ heraus.

$\frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) + (x + 1) (- 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.2.3

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) + (x + 1) (- 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ heraus.

$\frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.12.2.1.1

Multipliziere $(x + 1) (2 x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.12.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 2 + 1 (2 x + 2) + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.12.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.12.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.12.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 + (- 2 x + 2) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.4

Multipliziere $(- 2 x + 2) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.12.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x (x + 3) + 2 (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 2 (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.12.2.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.12.2.1.5.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.12.2.1.5.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.5.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 3}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 6 x + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.5.2

Addiere $- 6 x$ und $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 4 x + 6}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 4 x + 6$ .

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Schritt 2.12.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x + 2 + 0 - 4 x + 6}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.2.2

Addiere $4 x + 2$ und $0$ .

$\frac{4 x + 2 - 4 x + 6}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.2.3

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$\frac{0 + 2 + 6}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.2.4

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{2 + 6}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.3

Addiere $2$ und $6$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{{(x + 1)}^{3}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ als ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ um.

$8 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$8 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$8 (- 3 {(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$- 24 ({(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 24 {(x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 24 {(x + 1)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 24 {(x + 1)}^{- 4} (1 + 0)$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 24 {(x + 1)}^{- 4} \cdot 1$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$- 24 {(x + 1)}^{- 4}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 \frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 24$ und $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 24}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{24}{{(x + 1)}^{4}}$