Analysis Beispiele

$f (x) = 8 e^{x} \cos (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 e^{x} \cos (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$8 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$8 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (e^{x} (- \sin (x))) + 8 (\cos (x) e^{x})$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 8 \cos (x) e^{x}$

Schritt 1.5.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 8 e^{x} \sin (x) + 8 e^{x} \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 8 e^{x} \sin (x) + 8 e^{x} \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 8 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 e^{x} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 e^{x} \cos (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 e^{x} \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 e^{x} \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 e^{x} \cos (x)]$

Schritt 2.2.2

$- 8 (e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{x} \cos (x)]$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 8 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{x} \cos (x)]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 8 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [8 e^{x} \cos (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 e^{x} \cos (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 e^{x} \cos (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$- 8 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 8 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Schritt 2.3.2

$- 8 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 8 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 8 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 8 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 8 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 8 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 8 (e^{x} \cos (x)) - 8 (\sin (x) e^{x}) + 8 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 8 (e^{x} \cos (x)) - 8 (\sin (x) e^{x}) + 8 (e^{x} (- \sin (x))) + 8 (\cos (x) e^{x})$

Schritt 2.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 e^{x} \cos (x) - 8 \sin (x) e^{x} - 8 (e^{x} (\sin (x))) + 8 (\cos (x) e^{x})$

Schritt 2.4.3.2

Subtrahiere $8 e^{x} \sin (x)$ von $- 8 \sin (x) e^{x}$ .

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Schritt 2.4.3.2.1

Bewege $\sin (x)$ .

$- 8 e^{x} \cos (x) - 8 e^{x} \sin (x) - 8 e^{x} \sin (x) + 8 \cos (x) e^{x}$

Schritt 2.4.3.2.2

Subtrahiere $8 e^{x} \sin (x)$ von $- 8 e^{x} \sin (x)$ .

$- 8 e^{x} \cos (x) - 16 e^{x} \sin (x) + 8 \cos (x) e^{x}$

Schritt 2.4.3.3

Addiere $- 8 e^{x} \cos (x)$ und $8 \cos (x) e^{x}$ .

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Schritt 2.4.3.3.1

Bewege $\cos (x)$ .

$- 16 e^{x} \sin (x) - 8 e^{x} \cos (x) + 8 e^{x} \cos (x)$

Schritt 2.4.3.3.2

Addiere $- 8 e^{x} \cos (x)$ und $8 e^{x} \cos (x)$ .

$- 16 e^{x} \sin (x) + 0$

Schritt 2.4.3.4

Addiere $- 16 e^{x} \sin (x)$ und $0$ .

$f'' (x) = - 16 e^{x} \sin (x)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 16 e^{x} \sin (x)$ .

$- 16 e^{x} \sin (x)$