Analysis Beispiele

$\frac{c x + d}{a x + b}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d \cdot d} [\frac{f (d)}{g (d)}]$ gleich $\frac{g (d) \frac{d}{d \cdot d} [f (d)] - f (d) \frac{d}{d \cdot d} [g (d)]}{{g (d)}^{2}}$ ist mit $f (d) = c x + d$ und $g (d) = a x + b$ .

$\frac{(a x + b) \frac{d}{d \cdot d} [c x + d] - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $c x + d$ nach $d$ $\frac{d}{d \cdot d} [c x] + \frac{d}{d \cdot d} [d]$ .

$\frac{(a x + b) (\frac{d}{d \cdot d} [c x] + \frac{d}{d \cdot d} [d]) - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $c x$ konstant bezüglich $d$ ist, ist die Ableitung von $c x$ bezüglich $d$ gleich $0$ .

$\frac{(a x + b) (0 + \frac{d}{d \cdot d} [d]) - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d \cdot d} [d^{n}]$ gleich $n d^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(a x + b) (0 + 1) - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x + b$ nach $d$ $\frac{d}{d \cdot d} [a x] + \frac{d}{d \cdot d} [b]$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) (\frac{d}{d \cdot d} [a x] + \frac{d}{d \cdot d} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $a x$ konstant bezüglich $d$ ist, ist die Ableitung von $a x$ bezüglich $d$ gleich $0$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) (0 + \frac{d}{d \cdot d} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $b$ konstant bezüglich $d$ ist, ist die Ableitung von $b$ bezüglich $d$ gleich $0$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) (0 + 0)}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 2.8

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a x \cdot 1 + b \cdot 1 - (c x + d) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a x \cdot 1 + b \cdot 1 + (- (c x) - d) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a x \cdot 1 + b \cdot 1 - (c x) \cdot 0 - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a x + b \cdot 1 - (c x) \cdot 0 - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$\frac{a x + b - (c x) \cdot 0 - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Multipliziere $- c x \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{a x + b + 0 c x - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $c$ .

$\frac{a x + b + 0 x - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{a x + b + 0 - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Multipliziere $- d \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{a x + b + 0 + 0 d}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $d$ .

$\frac{a x + b + 0 + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a x + b + 0 + 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Addiere $a x + b$ und $0$ .

$\frac{a x + b + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $a x + b$ und $0$ .

$\frac{a x + b}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a x + b$ und ${(a x + b)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1}{{(a x + b)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $a x + b$ aus ${(a x + b)}^{2}$ heraus.

$\frac{(a x + b) \cdot 1}{(a x + b) (a x + b)}$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a x + b) \cdot 1}{(a x + b) (a x + b)}$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{a x + b}$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{b + a x}$