Analysis Beispiele

$8^{x} = \frac{5^{x + 2}}{3}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (8^{x}) = \ln (\frac{5^{x + 2}}{3})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (8^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (8) = \ln (\frac{5^{x + 2}}{3})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{5^{x + 2}}{3})$ als $\ln (5^{x + 2}) - \ln (3)$ um.

$x \ln (8) = \ln (5^{x + 2}) - \ln (3)$

Schritt 4

Zerlege $\ln (5^{x + 2})$ durch Herausziehen von $x + 2$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (8) = (x + 2) \ln (5) - \ln (3)$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $(x + 2) \ln (5) - \ln (3)$ .

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Schritt 5.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (8) = x \ln (5) + 2 \ln (5) - \ln (3)$

Schritt 5.1.1.1.2

Vereinfache $2 \ln (5)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (8) = x \ln (5) + \ln (5^{2}) - \ln (3)$

Schritt 5.1.1.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x \ln (8) = x \ln (5) + \ln (25) - \ln (3)$

Schritt 5.1.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (8) = x \ln (5) + \ln (\frac{25}{3})$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (8) - x \ln (5) - \ln (\frac{25}{3}) = 0$

Schritt 5.3

Addiere $\ln (\frac{25}{3})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (8) - x \ln (5) = \ln (\frac{25}{3})$

Schritt 5.4

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (8) - x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (8)$ heraus.

$x (\ln (8)) - x \ln (5) = \ln (\frac{25}{3})$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (8)) + x (- 1 \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (8)) + x (- 1 \ln (5))$ heraus.

$x (\ln (8) - 1 \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$

Schritt 5.5

Schreibe $- 1 \ln (5)$ als $- \ln (5)$ um.

$x (\ln (8) - \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (8) - \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$ durch $\ln (8) - \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (8) - \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$ durch $\ln (8) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (8) - \ln (5))}{\ln (8) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (8) - \ln (5)$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (8) - \ln (5))}{\ln (8) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 4.51116417 \dots$