Analysis Beispiele

$h (θ) = θ \sin (θ)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ gleich $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ist mit $f (θ) = θ$ und $g (θ) = \sin (θ)$ .

$θ \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$θ \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$θ \cos (θ) + \sin (θ) \cdot 1$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$f' (θ) = θ \cos (θ) + \sin (θ)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $θ \cos (θ) + \sin (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$ .

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Schritt 2.2.1

$θ \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) + \cos (θ)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $\cos (θ)$ und $\cos (θ)$ .

$θ (- \sin (θ)) + 2 \cos (θ)$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$f'' (θ) = - θ \sin (θ) + 2 \cos (θ)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $h (θ)$ nach $θ$ ist $- θ \sin (θ) + 2 \cos (θ)$ .

$- θ \sin (θ) + 2 \cos (θ)$