Analysis Beispiele

$f (x) = 15 \sqrt{x (x - 3)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x (x - 3)}$ als ${(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [15 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [{(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [{(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x (x - 3)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x (x - 3)$ .

$15 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$15 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x (x - 3)$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$15 (\frac{{(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Schritt 7.3

Bringe ${(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 (\frac{1}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Schritt 7.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}}$ und $15$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 3$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x - 3) \cdot 1)$

Schritt 9.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 9.6.1

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + x - 3)$

Schritt 9.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 3)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende die Produktregel auf $x (x - 3)$ an.

$\frac{15}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})} (2 x - 3)$

Schritt 10.2

Stelle die Faktoren von $\frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 3)$ um.

$(2 x - 3) \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$