Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \log_{2} (x + 1) + 3$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \log_{2} (x + 1) + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \log_{2} (x + 1)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \log_{2} (x + 1)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \log_{2} (x + 1)]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \log_{2} (x + 1)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\log_{2} (x + 1)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\log_{2} (x + 1)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{2} (x)$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\log_{2} (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$2 (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $0$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{(x + 1) \ln (2)}$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{(x + 1) \ln (2)} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.8

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{(x + 1) \ln (2)}$ .

$\frac{2}{(x + 1) \ln (2)} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{(x + 1) \ln (2)} + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{x \ln (2) + 1 \ln (2)} + 0$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$\frac{2}{x \ln (2) + \ln (2)} + 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $\frac{2}{x \ln (2) + \ln (2)}$ und $0$ .

$\frac{2}{x \ln (2) + \ln (2)}$