Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} \cdot (6 x) - \frac{1}{x} + 3 e^{x} - \sin (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} \cdot (6 x) - \frac{1}{x} + 3 e^{x} - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3} \cdot (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} \cdot (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3} \cdot (6 x)]$ .

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3} \cdot x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{1} x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [12 x^{1 + 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.5

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{4}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$12 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$48 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$48 x^{3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$48 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$48 x^{3} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$48 x^{3} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$48 x^{3} + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 3.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 e^{x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 e^{x} - \cos (x)$

Schritt 6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + 3 e^{x} - \cos (x)$