Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \ln (\frac{11}{x})$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln (\frac{11}{x})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{11}{x})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{11}{x})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{11}{x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{11}{x}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{11}{x}$ .

$2 (\frac{1}{\frac{11}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{11}{x}$ zu dividieren.

$2 (1 \frac{x}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{11}$ mit $1$ .

$2 (\frac{x}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{x}{11}$ und $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}]$

Schritt 4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}]$

Schritt 5

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{11}{x}$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{2 x}{11} (11 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombiniere $11$ und $\frac{2 x}{11}$ .

$\frac{11 (2 x)}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$\frac{22 x}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $22$ und $11$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $11$ aus $22 x$ heraus.

$\frac{11 (2 x)}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $11$ aus $11$ heraus.

$\frac{11 (2 x)}{11 (1)} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 (2 x)}{11 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 6.3.2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$2 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 6.4

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 x (- x^{- 2})$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x \cdot x^{- 2}$

Schritt 9

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$- 2 (x^{- 2} x)$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $x$ .

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Schritt 9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 (x^{- 2} x^{1})$

Schritt 9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x^{- 2 + 1}$

Schritt 9.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$- 2 x^{- 1}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x}$

Schritt 10.2

Vereine die Terme

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 2}{x}$

Schritt 10.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x}$