Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = \frac{x - 1}{u}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arcsin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ und $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}]$

Schritt 3.2

Da $\frac{1}{u}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x - 1}{u}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + 0)$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \cdot 1$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x - 1}{u}$ an.

$\frac{2}{u \sqrt{1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2}}{u^{2}} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Schritt 4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Schritt 4.2.3

Schreibe $\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$ als $\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$ um.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}$ als ${(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})$ um.

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $u^{2} - {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2}}}}$

Schritt 4.2.3.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $u^{2}$ aus $u^{2}$ heraus.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}}}$

Schritt 4.2.3.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}$ um.

$\frac{2}{u \sqrt{{(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}}$

Schritt 4.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $\frac{1}{u}$ und $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{u \frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Schritt 4.2.5

Kombiniere $u$ und $\frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}$ .

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Schritt 4.2.6.2

Dividiere $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$