Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \ln (\csc (x^{2}))$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln (\csc (x^{2}))$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \csc (x^{2})$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (x^{2})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (x^{2})$ .

$2 (\frac{1}{\csc (x^{2})} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Schritt 3

Schreibe $\csc (x^{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 (\frac{1}{\frac{1}{\sin (x^{2})}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Schritt 4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ zu dividieren.

$2 (1 \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Schritt 5

Mutltipliziere $\sin (x^{2})$ mit $1$ .

$2 (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$2 \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (x^{2}) (\csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Stelle die Faktoren von $- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$ um.

$- 4 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Schritt 8.2

Schreibe $\cot (x^{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Schritt 8.3

Multipliziere $- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$x \frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{x (- 4 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Schritt 8.4

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Schritt 8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Schritt 8.6

Schreibe $\csc (x^{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Schritt 8.7

Multipliziere $- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

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Schritt 8.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ mit $\frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Schritt 8.7.2

Potenziere $\sin (x^{2})$ mit $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Schritt 8.7.3

Potenziere $\sin (x^{2})$ mit $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Schritt 8.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x^{2})$

Schritt 8.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Schritt 8.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x^{2})$ .

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Schritt 8.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ in den Zähler.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Schritt 8.8.2

Faktorisiere $\sin (x^{2})$ aus $\sin^{2} (x^{2})$ heraus.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Schritt 8.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Schritt 8.8.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Schritt 8.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Schritt 8.10

Separiere Brüche.

$- (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})})$

Schritt 8.11

Wandle von $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ nach $\cot (x^{2})$ um.

$- (\frac{4 x}{1} \cot (x^{2}))$

Schritt 8.12

Dividiere $4 x$ durch $1$ .

$- (4 x \cot (x^{2}))$

Schritt 8.13

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 x \cot (x^{2})$