Analysis Beispiele

$f (x) = 22 \arctan (\sqrt{s})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{s}$ als $s^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d s} [22 \arctan (s^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.2

Da $22$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $22 \arctan (s^{\frac{1}{2}})$ nach $s$ gleich $22 \frac{d}{d s} [\arctan (s^{\frac{1}{2}})]$ .

$22 \frac{d}{d s} [\arctan (s^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ ist $f' (g (s)) g' (s)$ , mit $f (s) = \arctan (s)$ und $g (s) = s^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $s^{\frac{1}{2}}$ .

$22 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$22 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $s^{\frac{1}{2}}$ .

$22 (\frac{1}{1 + {(s^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(s^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$22 (\frac{1}{1 + s^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$22 (\frac{1}{1 + s^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$22 (\frac{1}{1 + s^{1}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4

Vereinfache.

$22 (\frac{1}{1 + s} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{1 + s}$ und $22$ .

$\frac{22}{1 + s} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{22}{1 + s} \cdot \frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 13

Mutltipliziere $\frac{22}{1 + s}$ mit $\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{22 s^{- \frac{1}{2}}}{(1 + s) \cdot 2}$

Schritt 14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + s$ .

$\frac{22 s^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + s)}$

Schritt 14.2

Bringe $s^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{22}{2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15

Faktorisiere $2$ aus $22$ heraus.

$\frac{2 \cdot 11}{2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 11}{2 ((1 + s) s^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 11}{2 ((1 + s) s^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 16.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{11}{(1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{11}{1 s^{\frac{1}{2}} + s \cdot s^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2

Vereine die Terme

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Schritt 17.2.1

Mutltipliziere $s^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s \cdot s^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2

Multipliziere $s$ mit $s^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 17.2.2.1

Mutltipliziere $s$ mit $s^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 17.2.2.1.1

Potenziere $s$ mit $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{1} s^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 17.2.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 17.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 17.3.1

Faktorisiere $s^{\frac{1}{2}}$ aus $s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 17.3.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 17.3.1.2

Faktorisiere $s^{\frac{1}{2}}$ aus $s^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 17.3.1.3

Faktorisiere $s^{\frac{1}{2}}$ aus $s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{2}{2}}$ heraus.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 17.3.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s^{1})}$

Schritt 17.3.3

Vereinfache.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s)}$