Analysis Beispiele

$f (x) = 2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$

Schritt 1

Da $2000$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$ nach $r$ gleich $2000 \frac{d}{d r} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$ .

$2000 \frac{d}{d r} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = r^{60}$ und $g (r) = 1 + \frac{r}{12}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (\frac{d}{d u} [u^{60}] \frac{d}{d r} [1 + \frac{r}{12}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 60$ .

$2000 (60 u^{59} \frac{d}{d r} [1 + \frac{r}{12}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (60 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d r} [1 + \frac{r}{12}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $60$ mit $2000$ .

$120000 ({(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d r} [1 + \frac{r}{12}])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{r}{12}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [\frac{r}{12}])$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (0 + \frac{d}{d r} [\frac{r}{12}])$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d r} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d r} [\frac{r}{12}]$

Schritt 3.5

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{r}{12}$ nach $r$ gleich $\frac{1}{12} \frac{d}{d r} [r]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{1}{12} \frac{d}{d r} [r])$

Schritt 3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $120000$ .

$\frac{120000}{12} {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d r} [r]$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $\frac{120000}{12}$ und ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{12} \frac{d}{d r} [r]$

Schritt 3.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $120000$ und $12$ .

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Schritt 3.6.3.1

Faktorisiere $12$ aus $120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ heraus.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12} \frac{d}{d r} [r]$

Schritt 3.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.3.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12$ heraus.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 (1)} \frac{d}{d r} [r]$

Schritt 3.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 \cdot 1} \frac{d}{d r} [r]$

Schritt 3.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{1} \frac{d}{d r} [r]$

Schritt 3.6.3.2.4

Dividiere $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ durch $1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d r} [r]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \cdot 1$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $10000$ mit $1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$