Analysis Beispiele

$f (x) = 20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})) + 30$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})) + 30$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))] + \frac{d}{d t} [30]$ .

$\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))] + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))]$ .

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Schritt 2.1

Da $20$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))$ nach $t$ gleich $20 \frac{d}{d t} [\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})]$ .

$20 \frac{d}{d t} [\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})] + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{t}{12}] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]$ .

$20 (\frac{d}{d t} [\frac{t}{12}] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.3

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t}{12}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 (\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (\frac{t}{13})$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [\ln (\frac{t}{13})]$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{d}{d t} [\ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = \frac{t}{13}$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.6.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.7

Da $\frac{1}{13}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t}{13}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{13} \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $1$ .

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.10

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{t}{13}$ zu dividieren.

$20 (\frac{1}{12} - (1 \frac{13}{t} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $\frac{13}{t}$ mit $1$ .

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{13}{t} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $\frac{1}{13}$ mit $1$ .

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{13}{t} \cdot \frac{1}{13})) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $\frac{13}{t}$ mit $\frac{1}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{t \cdot 13}) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.14

Bringe $13$ auf die linke Seite von $t$ .

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{13 \cdot t}) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

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Schritt 2.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{13 t}) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 2.15.2

Forme den Ausdruck um.

$20 (\frac{1}{12} - \frac{1}{t}) + \frac{d}{d t} [30]$

Schritt 3

Da $30$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $30$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$20 (\frac{1}{12} - \frac{1}{t}) + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$20 (\frac{1}{12}) + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $20$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{20}{12} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $12$ .

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{4 (5)}{12} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Schritt 4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Schritt 4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Schritt 4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$\frac{5}{3} - 20 \frac{1}{t} + 0$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $- 20$ und $\frac{1}{t}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 20}{t} + 0$

Schritt 4.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{3} - \frac{20}{t} + 0$

Schritt 4.2.6

Addiere $\frac{5}{3} - \frac{20}{t}$ und $0$ .

$\frac{5}{3} - \frac{20}{t}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$- \frac{20}{t} + \frac{5}{3}$