Analysis Beispiele

$f (x) = 3 e^{1 - x^{2}} \cdot \ln (x)$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{1 - x^{2}} \ln (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}} \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}} \ln (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{1 - x^{2}}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$3 (e^{1 - x^{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Schritt 4

Kombiniere $e^{1 - x^{2}}$ und $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])))$

Schritt 6.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])))$

Schritt 6.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Schritt 6.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])))$

Schritt 6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))))$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)))$

Schritt 7

Um $\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \frac{\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) x}{x})$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) x}{x}$

Schritt 9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 (x^{1} x)))}{x}$

Schritt 10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 (x^{1} x^{1})))}{x}$

Schritt 11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{1 + 1}))}{x}$

Schritt 12

Addiere $1$ und $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2}))}{x}$

Schritt 13

Kombiniere $3$ und $\frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2}))}{x}$ .

$\frac{3 (e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2})))}{x}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2})))}{x}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (- 2 \ln (x) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Schritt 14.2.1.2

Vereinfache $- 2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (- \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Schritt 14.2.1.3

Multipliziere $3 (- \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))$ .

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Schritt 14.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - 3 (\ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Schritt 14.2.1.3.2

Stelle $\ln (x^{2})$ und $- 3$ um.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - 3 \cdot \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Schritt 14.2.1.3.3

Vereinfache $- 3 \cdot \ln (x^{2})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln ({(x^{2})}^{3}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Schritt 14.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 14.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{2 \cdot 3}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Schritt 14.2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{6}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Schritt 14.2.2

Stelle die Faktoren in $3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{6}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})$ um.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - x^{2} e^{1 - x^{2}} \ln (x^{6})}{x}$

Schritt 14.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6}) + 3 e^{1 - x^{2}}}{x}$

Schritt 14.4

Faktorisiere $e^{1 - x^{2}}$ aus $- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6}) + 3 e^{1 - x^{2}}$ heraus.

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Schritt 14.4.1

Faktorisiere $e^{1 - x^{2}}$ aus $- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6})$ heraus.

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + 3 e^{1 - x^{2}}}{x}$

Schritt 14.4.2

Faktorisiere $e^{1 - x^{2}}$ aus $3 e^{1 - x^{2}}$ heraus.

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + e^{1 - x^{2}} \cdot 3}{x}$

Schritt 14.4.3

Faktorisiere $e^{1 - x^{2}}$ aus $e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + e^{1 - x^{2}} \cdot 3$ heraus.

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6}) + 3)}{x}$

Schritt 14.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} \ln (x^{6})$ heraus.

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6})) + 3)}{x}$

Schritt 14.6

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6})) - 1 (- 3))}{x}$

Schritt 14.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} \ln (x^{6})) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6}) - 3))}{x}$

Schritt 14.8

Schreibe $- (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)$ als $- 1 (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)$ um.

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- 1 (x^{2} \ln (x^{6}) - 3))}{x}$

Schritt 14.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{1 - x^{2}} (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)}{x}$