Analysis Beispiele

$f (x) = 3 {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [3 ((x + 1) (x + 1))]$

Schritt 2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 (x (x + 1) + 1 (x + 1))]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)]$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1)]$

Schritt 3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)]$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 (x^{2} + 2 x + 1)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (2 x + 2 + 0)$

Schritt 11

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$3 (2 x + 2)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

Schritt 12.2

Vereine die Terme

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + 3 \cdot 2$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x + 6$