Analysis Beispiele

$f (x) = 3 {(4 - x)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(4 - x)}^{2}$ als $(4 - x) (4 - x)$ um.

$\frac{d}{d x} [3 ((4 - x) (4 - x))]$

Schritt 2

Multipliziere $(4 - x) (4 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 (4 (4 - x) - x (4 - x))]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x))]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x))]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 4 x - 4 x - x (- x))]$

Schritt 3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2})]$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 4 x - 4 x + x^{2})]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 8 x + x^{2})]$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 (16 - 8 x + x^{2})$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [16 - 8 x + x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [16 - 8 x + x^{2}]$

Schritt 5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 - 8 x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 10

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$3 (- 8 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (- 8 + 2 x)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot - 8 + 3 (2 x)$

Schritt 12.2

Vereine die Terme

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$- 24 + 3 (2 x)$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 24 + 6 x$

Schritt 12.3

Stelle die Terme um.

$6 x - 24$