Analysis Beispiele

$f (x) = - 3 (5 x^{3} - 2 x + 5) (\sqrt{x} + 2 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [- 3 (5 x^{3} - 2 x + 5) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)]$

Schritt 1.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 (5 x^{3} - 2 x + 5) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [(5 x^{3} - 2 x + 5) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [(5 x^{3} - 2 x + 5) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 5 x^{3} - 2 x + 5$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2 x] + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{2}} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

Schritt 8.3

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

Schritt 9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

Schritt 12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{3} - 2 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]))$

Schritt 13

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]))$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]))$

Schritt 15

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]))$

Schritt 16

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]))$

Schritt 17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]))$

Schritt 18

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [5]))$

Schritt 19

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} - 2 + 0))$

Schritt 20

Addiere $15 x^{2} - 2$ und $0$ .

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} - 2))$

Schritt 21

Vereinfache.

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Schritt 21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2)) - 3 ((x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} - 2))$

Schritt 21.2

Entferne die Klammern.

$- 3 (5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) - 3 (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} - 2)$

Schritt 21.3

Stelle die Terme um.

$- 3 (5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 3 (5 x^{3}) - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.2

Vereinfache.

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Schritt 21.4.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$(- 15 x^{3} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$(- 15 x^{3} + 6 x - 3 \cdot 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$(- 15 x^{3} + 6 x - 15) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.3

Multipliziere $(- 15 x^{3} + 6 x - 15) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$- 15 x^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 21.4.4.1.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 15 x^{3}$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} (- 15 x^{\frac{5}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} (- 15 x^{\frac{5}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 21.4.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 15 x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{2} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.2

Kombiniere $- 15$ und $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} \frac{- 15}{2} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.3

Kombiniere $x^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{- 15}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{5}{2}} \cdot - 15}{2} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.4

Bringe $- 15$ auf die linke Seite von $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{- 15 \cdot x^{\frac{5}{2}}}{2} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15 \cdot x^{\frac{5}{2}}}{2} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 15$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 21.4.4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 2 (3 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.7.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 2 (3 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 2 (3 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.7.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.8

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.9

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + \frac{x \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.10

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x \cdot 3 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.11

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 21.4.4.11.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot 3 + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.11.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 21.4.4.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot 3 + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 3 + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.11.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 3 + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 3 + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.11.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 \cdot x^{\frac{1}{2}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.13

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.14

Kombiniere $- 15$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x + \frac{- 15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.4.16

Mutltipliziere $- 15$ mit $2$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + (- 3 (15 x^{2}) - 3 \cdot - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.6

Mutltipliziere $15$ mit $- 3$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + (- 45 x^{2} - 3 \cdot - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + (- 45 x^{2} + 6) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.8

Multipliziere $(- 45 x^{2} + 6) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 21.4.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{2} (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) + 6 (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{2} x^{\frac{1}{2}} - 45 x^{2} (2 x) + 6 (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

Schritt 21.4.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{2} x^{\frac{1}{2}} - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

Schritt 21.4.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.4.9.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 21.4.9.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

Schritt 21.4.9.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{1}{2} + 2} - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

Schritt 21.4.9.1.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

Schritt 21.4.9.1.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

Schritt 21.4.9.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

Schritt 21.4.9.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 21.4.9.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{1 + 4}{2}} - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

Schritt 21.4.9.1.6.2

Addiere $1$ und $4$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

Schritt 21.4.9.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 45 \cdot 2 x^{2} x + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

Schritt 21.4.9.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 21.4.9.3.1

Bewege $x$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 45 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

Schritt 21.4.9.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 21.4.9.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 45 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

Schritt 21.4.9.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 45 \cdot 2 x^{1 + 2} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

Schritt 21.4.9.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 45 \cdot 2 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

Schritt 21.4.9.4

Mutltipliziere $- 45$ mit $2$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

Schritt 21.4.9.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

Schritt 21.5

Um $- 45 x^{\frac{5}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 45 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

Schritt 21.6

Kombiniere $- 45 x^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{- 45 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

Schritt 21.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 15 x^{\frac{5}{2}} - 45 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

Schritt 21.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 21.8.1.1

Faktorisiere $- 15 x^{\frac{5}{2}}$ aus $- 15 x^{\frac{5}{2}} - 45 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2$ heraus.

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Schritt 21.8.1.1.1

Bewege $x^{\frac{5}{2}}$ .

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 15 x^{\frac{5}{2}} - 45 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

Schritt 21.8.1.1.2

Faktorisiere $- 15 x^{\frac{5}{2}}$ aus $- 15 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 15 x^{\frac{5}{2}} (1) - 45 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

Schritt 21.8.1.1.3

Faktorisiere $- 15 x^{\frac{5}{2}}$ aus $- 45 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 15 x^{\frac{5}{2}} (1) - 15 x^{\frac{5}{2}} (3 \cdot 2)}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

Schritt 21.8.1.1.4

Faktorisiere $- 15 x^{\frac{5}{2}}$ aus $- 15 x^{\frac{5}{2}} (1) - 15 x^{\frac{5}{2}} (3 \cdot 2)$ heraus.

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 15 x^{\frac{5}{2}} (1 + 3 \cdot 2)}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

Schritt 21.8.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 15 x^{\frac{5}{2}} (1 + 6)}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

Schritt 21.8.1.3

Addiere $1$ und $6$ .

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 15 x^{\frac{5}{2}} \cdot 7}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

Schritt 21.8.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 15$ .

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 105 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

Schritt 21.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - \frac{105 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

Schritt 21.9

Subtrahiere $90 x^{3}$ von $- 30 x^{3}$ .

$- 120 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - \frac{105 x^{\frac{5}{2}}}{2} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

Schritt 21.10

Addiere $3 x^{\frac{1}{2}}$ und $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 120 x^{3} + 9 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - \frac{105 x^{\frac{5}{2}}}{2} + 12 x$

Schritt 21.11

Addiere $12 x$ und $12 x$ .

$- 120 x^{3} + 9 x^{\frac{1}{2}} + 24 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - \frac{105 x^{\frac{5}{2}}}{2}$