Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x - \sqrt{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \sqrt{x^{2} + x + 1}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + x + 1}$ als ${(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + x + 1$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + x + 1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1 + 0))$

Schritt 3.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Schritt 3.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Schritt 3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Schritt 3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Schritt 3.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Schritt 3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Schritt 3.13

Addiere $2 x + 1$ und $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))$

Schritt 3.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 - (\frac{{(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x + 1))$

Schritt 3.15

Bringe ${(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2$