Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x - \ln (4 x - 6)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \ln (4 x - 6)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (4 x - 6)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (4 x - 6)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\ln (4 x - 6)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 4 x - 6$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 6$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 6])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$2 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x - 6])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 6$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} \frac{d}{d x} [4 x - 6])$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Schritt 3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Schritt 3.6

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (4 \cdot 1 + 0))$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (4 + 0))$

Schritt 3.8

Addiere $4$ und $0$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} \cdot 4)$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{4 x - 6}$ und $4$ .

$2 - \frac{4}{4 x - 6}$

Schritt 3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $4 x - 6$ .

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Schritt 3.10.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 - \frac{2 (2)}{4 x - 6}$

Schritt 3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$2 - \frac{2 (2)}{2 (2 x) - 6}$

Schritt 3.10.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$2 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 x) + 2 \cdot - 3}$

Schritt 3.10.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 3)$ heraus.

$2 - \frac{2 (2)}{2 (2 x - 3)}$

Schritt 3.10.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 x - 3)}$

Schritt 3.10.2.5

Forme den Ausdruck um.

$2 - \frac{2}{2 x - 3}$

Schritt 4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x - 3}{2 x - 3}$ .

$\frac{2 (2 x - 3)}{2 x - 3} - \frac{2}{2 x - 3}$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (2 x - 3) - 2}{2 x - 3}$