Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \sqrt{\cos (x^{2})}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\cos (x^{2})}$ als ${\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [3 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [{\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \cos (x^{2})$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x^{2})$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x^{2})$ .

$3 (\frac{1}{2} {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (\frac{1}{2} {\cos (x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (\frac{1}{2} {\cos (x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 (\frac{1}{2} {\cos (x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})])$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\frac{1}{2} {\cos (x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})])$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${\cos (x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{{\cos (x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})])$

Schritt 7.3

Bringe ${\cos (x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})])$

Schritt 7.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $3$ .

$\frac{3}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{3}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{3}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{3}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $\sin (x^{2})$ .

$- \frac{3 \sin (x^{2})}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{3 \sin (x^{2})}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 9.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{3 \sin (x^{2})}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 \sin (x^{2})}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (3 \sin (x^{2}))}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{- 6 \sin (x^{2})}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 9.3.4

Kombiniere $\frac{- 6 \sin (x^{2})}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 6 \sin (x^{2}) x}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.5

Faktorisiere $2$ aus $- 6 \sin (x^{2}) x$ heraus.

$\frac{2 (- 3 \sin (x^{2}) x)}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- 3 \sin (x^{2}) x)}{2 ({\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 3 \sin (x^{2}) x)}{2 {\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 \sin (x^{2}) x}{{\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 \sin (x^{2}) x}{{\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Stelle die Faktoren in $3 \sin (x^{2}) x$ um.

$- \frac{3 x \sin (x^{2})}{{\cos (x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$