Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} \ln ({(x)}^{2})$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4} \ln (x^{2})$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x^{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$3 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$3 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$3 (x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$3 (x^{4} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$3 (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$3 (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{x^{2}}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4.2.2.4

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{2} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x^{2} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (x^{1} x^{2} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (x^{1 + 2} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3 (x^{3} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$3 (2 \cdot x^{3} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 (2 x^{3} + \ln (x^{2}) (4 x^{3}))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (2 x^{3}) + 3 (\ln (x^{2}) (4 x^{3}))$

Schritt 8.2

Vereine die Terme

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x^{3} + 3 (\ln (x^{2}) (4 x^{3}))$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$6 x^{3} + 12 \ln (x^{2}) x^{3}$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$6 x^{3} + 12 x^{3} \ln (x^{2})$