Analysis Beispiele

$f (x) = 6 {(\ln (x))}^{\frac{7}{2}}$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 {\ln (x)}^{\frac{7}{2}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [{\ln (x)}^{\frac{7}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{\ln (x)}^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} u^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$6 (\frac{7}{2} {\ln (x)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} {\ln (x)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} {\ln (x)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (\frac{7}{2} {\ln (x)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 (\frac{7}{2} {\ln (x)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$6 (\frac{7}{2} {\ln (x)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und ${\ln (x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$6 (\frac{7 {\ln (x)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{7 {\ln (x)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ und $6$ .

$\frac{7 {\ln (x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 6}{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 9

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$\frac{42 {\ln (x)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 10

Faktorisiere $2$ aus $42 {\ln (x)}^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (21 {\ln (x)}^{\frac{5}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (21 {\ln (x)}^{\frac{5}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (21 {\ln (x)}^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21 {\ln (x)}^{\frac{5}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 11.4

Dividiere $21 {\ln (x)}^{\frac{5}{2}}$ durch $1$ .

$21 {\ln (x)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 12

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$21 {\ln (x)}^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x}$

Schritt 13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $21$ .

$\frac{21}{x} {\ln (x)}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 13.2

Kombiniere $\frac{21}{x}$ und ${\ln (x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{21 {\ln (x)}^{\frac{5}{2}}}{x}$