Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x) + x^{4}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x) + x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)]$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{x}{9})] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4} \ln (\frac{x}{9})$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (\frac{x}{9})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (\frac{x}{9})] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \ln (\frac{x}{9})$ .

$5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{9})] + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x}{9}$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{9}$ .

$5 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{9}$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.5

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{9}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.8

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x}{9}$ zu dividieren.

$5 (x^{4} (1 \frac{9}{x} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $\frac{9}{x}$ mit $1$ .

$5 (x^{4} (\frac{9}{x} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $1$ .

$5 (x^{4} (\frac{9}{x} \cdot \frac{1}{9}) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $\frac{9}{x}$ mit $\frac{1}{9}$ .

$5 (x^{4} \frac{9}{x \cdot 9} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.12

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 (x^{4} \frac{9}{9 \cdot x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (x^{4} \frac{9}{9 x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.13.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.14

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{x}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 2.15.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.15.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.15.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.15.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.15.2.4

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.15.2.5

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$5 (x^{3} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (x^{3} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + 4 x^{3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{3} + 5 (\ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + 4 x^{3}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$5 x^{3} + 20 (\ln (\frac{x}{9}) (x^{3})) + 4 x^{3}$

Schritt 4.2.2

Addiere $5 x^{3}$ und $4 x^{3}$ .

$9 x^{3} + 20 \ln (\frac{x}{9}) x^{3}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (\frac{x}{9})$