Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 x^{3} - 7$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{3} - 7$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{3} - 7$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (x (\frac{{(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8.3

Bringe ${(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x (\frac{1}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7] + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 12

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 13

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2} + 0) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.1

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2}) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 14.2

Kombiniere $6$ und $\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{6 x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} x^{2} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 14.3

Kombiniere $\frac{6 x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{2}$ .

$5 (\frac{6 x \cdot x^{2}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 15

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 (\frac{6 (x^{2} x)}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 15.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 (\frac{6 (x^{2} x^{1})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 15.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 (\frac{6 x^{2 + 1}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 15.3

Addiere $2$ und $1$ .

$5 (\frac{6 x^{3}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 16

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 17

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 ({(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}})} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 17.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 17.3

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 19

Mutltipliziere ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 20

Um ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22

Multipliziere ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 22.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.3

Addiere $1$ und $1$ .

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{1}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23

Vereinfache ${(2 x^{3} - 7)}^{1}$ .

$5 \frac{3 x^{3} + 2 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24

Addiere $3 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$5 \frac{5 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 25

Kombiniere $5$ und $\frac{5 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 (5 x^{3} - 7)}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$