Analysis Beispiele

$f (x) = 5 + {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [{(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [{(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Schritt 1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ und $g (x) = 9 + 5 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 + 5 x$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{5}}] \frac{d}{d x} [9 + 5 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{5}$ .

$0 + \frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 5 x]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $9 + 5 x$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 5 x]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 2.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 2.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \cdot 1)$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2 - 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5)$

Schritt 2.12

Addiere $0$ und $5$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5$

Schritt 2.13

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und ${(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ .

$0 + \frac{2 {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \cdot 5$

Schritt 2.14

Kombiniere $\frac{2 {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$ und $5$ .

$0 + \frac{2 {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5}{5}$

Schritt 2.15

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$0 + \frac{10 {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Schritt 2.16

Bringe ${(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{10}{5 {(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 2.17

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$0 + \frac{5 \cdot 2}{5 {(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 2.18

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.18.1

Faktorisiere $5$ aus $5 {(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ heraus.

$0 + \frac{5 \cdot 2}{5 ({(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}$

Schritt 2.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{5 \cdot 2}{5 {(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 2.18.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{2}{{(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Addiere $0$ und $\frac{2}{{(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ .

$\frac{2}{{(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 3.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{{(5 x + 9)}^{\frac{3}{5}}}$