Analysis Beispiele

$f (x) = 50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2

Da $50$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $50$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 25$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ nach $t$ gleich $- 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$0 - 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t + 3$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t + 3$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $t + 3$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 25 \frac{2 \cdot {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9

Addiere $1$ und $0$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) \cdot 1)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.12

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.12.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.13

Kombiniere $- 25$ und $\frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$0 + \frac{- 25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$0 - \frac{50 ({(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 (t^{1} t^{2})) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{1 + 2}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{3}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $25$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 6 t^{2})}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $25$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.3.8

Subtrahiere $\frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$ von $0$ .

$- \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $50 t$ aus $50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $50 t$ aus $50 {(t + 3)}^{2} t$ heraus.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $50 t$ aus $- 50 t^{3}$ heraus.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $50 t$ aus $- 150 t^{2}$ heraus.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere $50 t$ aus $50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2})$ heraus.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.1.5

Faktorisiere $50 t$ aus $50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)$ heraus.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Schreibe ${(t + 3)}^{2}$ als $(t + 3) (t + 3)$ um.

$- \frac{50 t ((t + 3) (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.3

Multipliziere $(t + 3) (t + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{50 t (t (t + 3) + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.4.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 \cdot t + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 t + 3 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.4.2

Addiere $3 t$ und $3 t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 6 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.5

Subtrahiere $t^{2}$ von $t^{2}$ .

$- \frac{50 t (6 t + 9 + 0 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.6

Addiere $6 t$ und $0$ .

$- \frac{50 t (6 t + 9 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.7

Subtrahiere $3 t$ von $6 t$ .

$- \frac{50 t (3 t + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.8

Faktorisiere $3$ aus $3 t + 9$ heraus.

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Schritt 3.4.8.1

Faktorisiere $3$ aus $3 t$ heraus.

$- \frac{50 t (3 (t) + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.8.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{50 t (3 t + 3 \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.8.3

Faktorisiere $3$ aus $3 t + 3 \cdot 3$ heraus.

$- \frac{50 t (3 (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

$- \frac{50 t \cdot 3 (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.9

Mutltipliziere $3$ mit $50$ .

$- \frac{150 t (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t + 3$ und ${(t + 3)}^{4}$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $t + 3$ aus $150 t (t + 3)$ heraus.

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $t + 3$ aus ${(t + 3)}^{4}$ heraus.

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{150 t}{{(t + 3)}^{3}}$