Analysis Beispiele

$f (x) = 5 \cos (x) \cdot \cos (x) - 10 \sin (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 \cos (x) \cdot \cos (x) - 10 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 \cos (x) \cdot \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (x) \cdot \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \cos (x) \cdot \cos (x)]$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [5 (\cos^{1} (x) \cos (x))] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [5 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [5 {\cos (x)}^{1 + 1}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.7

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$5 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$