Analysis Beispiele

$f (x) = 5 \cos (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{4} \cdot π)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{π \cdot 3}{4})]$

Schritt 1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3 \cdot π}{4})]$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})]$

Schritt 1.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$5 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ .

$5 (- \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 (\sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}]$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Schritt 3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Schritt 3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Schritt 3.5.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (x + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Schritt 3.6

Da $- \frac{3 π}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 π}{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (x + 0)$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $x$ und $0$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) x$

Schritt 3.7.2

Stelle die Faktoren von $- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) x$ um.

$- 5 x \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})$