Analysis Beispiele

$f (x) = 7.2956 \ln (0.0645012 x^{0.95} + 1) (200)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $200$ mit $7.2956$ .

$\frac{d}{d x} [1459.12 \ln (0.0645012 x^{0.95} + 1)]$

Schritt 1.2

Da $1459.12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1459.12 \ln (0.0645012 x^{0.95} + 1)$ nach $x$ gleich $1459.12 \frac{d}{d x} [\ln (0.0645012 x^{0.95} + 1)]$ .

$1459.12 \frac{d}{d x} [\ln (0.0645012 x^{0.95} + 1)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 0.0645012 x^{0.95} + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $0.0645012 x^{0.95} + 1$ .

$1459.12 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [0.0645012 x^{0.95} + 1])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$1459.12 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [0.0645012 x^{0.95} + 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $0.0645012 x^{0.95} + 1$ .

$1459.12 (\frac{1}{0.0645012 x^{0.95} + 1} \frac{d}{d x} [0.0645012 x^{0.95} + 1])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{0.0645012 x^{0.95} + 1}$ und $1459.12$ .

$\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} \frac{d}{d x} [0.0645012 x^{0.95} + 1]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $0.0645012 x^{0.95} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [0.0645012 x^{0.95}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} (\frac{d}{d x} [0.0645012 x^{0.95}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3

Da $0.0645012$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.0645012 x^{0.95}$ nach $x$ gleich $0.0645012 \frac{d}{d x} [x^{0.95}]$ .

$\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} (0.0645012 \frac{d}{d x} [x^{0.95}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 0.95$ .

$\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} (0.0645012 (0.95 x^{- 0.05}) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $0.95$ mit $0.0645012$ .

$\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} (0.06127614 x^{- 0.05} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} (0.06127614 x^{- 0.05} + 0)$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Addiere $0.06127614 x^{- 0.05}$ und $0$ .

$\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} (0.06127614 x^{- 0.05})$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $0.06127614$ und $\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1}$ .

$\frac{0.06127614 \cdot 1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} x^{- 0.05}$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $0.06127614$ mit $1459.12$ .

$\frac{89.40924139}{0.0645012 x^{0.95} + 1} x^{- 0.05}$

Schritt 3.7.4

Kombiniere $\frac{89.40924139}{0.0645012 x^{0.95} + 1}$ und $x^{- 0.05}$ .

$\frac{89.40924139 x^{- 0.05}}{0.0645012 x^{0.95} + 1}$

Schritt 3.7.5

Bringe $x^{- 0.05}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{89.40924139}{(0.0645012 x^{0.95} + 1) x^{0.05}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{89.40924139}{0.0645012 x^{0.95} x^{0.05} + 1 x^{0.05}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $x^{0.95}$ mit $x^{0.05}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1

Bewege $x^{0.05}$ .

$\frac{89.40924139}{0.0645012 (x^{0.05} x^{0.95}) + 1 x^{0.05}}$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{89.40924139}{0.0645012 x^{0.05 + 0.95} + 1 x^{0.05}}$

Schritt 4.2.1.3

Addiere $0.05$ und $0.95$ .

$\frac{89.40924139}{0.0645012 x^{1} + 1 x^{0.05}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $0.0645012 x^{1}$ .

$\frac{89.40924139}{0.0645012 x + 1 x^{0.05}}$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $x^{0.05}$ mit $1$ .

$\frac{89.40924139}{0.0645012 x + x^{0.05}}$