Analysis Beispiele

$f (x) = 7 \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) - 2$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x)]$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $\cos (6 x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 (\cos^{1} (6 x) \cos (6 x)) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2

Potenziere $\cos (6 x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 (\cos^{1} (6 x) \cos^{1} (6 x)) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [7 {\cos (6 x)}^{1 + 1} \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.5

Potenziere $\cos (6 x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 (\cos^{1} (6 x) \cos^{2} (6 x)) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [7 {\cos (6 x)}^{1 + 2} \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cos^{3} (6 x) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.8

Potenziere $\cos (6 x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 (\cos^{1} (6 x) \cos^{3} (6 x))] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [7 {\cos (6 x)}^{1 + 3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.10

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cos^{4} (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.11

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 \cos^{4} (6 x)$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (6 x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \cos (6 x)$ .

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Schritt 2.12.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (6 x)$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.12.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$7 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.12.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (6 x)$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 6 x$ .

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Schritt 2.13.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $6 x$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.13.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.13.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $6 x$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.14

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) (- \sin (6 x) (6 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.16

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) (- \sin (6 x) \cdot 6)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.17

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) (- 6 \sin (6 x))) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.18

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$7 (- 24 \cos^{3} (6 x) \sin (6 x)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.19

Mutltipliziere $- 24$ mit $7$ .

$- 168 \cos^{3} (6 x) \sin (6 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 168 \cos^{3} (6 x) \sin (6 x) + 0$

Schritt 3.2

Addiere $- 168 \cos^{3} (6 x) \sin (6 x)$ und $0$ .

$- 168 \cos^{3} (6 x) \sin (6 x)$