Analysis Beispiele

$f (x) = 8 x + \frac{2 x - \frac{2}{3}}{3}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x - \frac{2}{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (x) - \frac{2}{3}}{3}]$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{2}{3}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (x) + 2 (- \frac{1}{3})}{3}]$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- \frac{1}{3})$ heraus.

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (x - \frac{1}{3})}{3}]$

Schritt 1.2

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (x \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})}{3}]$

Schritt 1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (\frac{x \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})}{3}]$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 \frac{x \cdot 3 - 1}{3}}{3}]$

Schritt 1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 \frac{3 x - 1}{3}}{3}]$

Schritt 2

Kombiniere $2$ und $\frac{3 x - 1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{\frac{2 (3 x - 1)}{3}}{3}]$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (3 x - 1)}{3} \cdot \frac{1}{3}]$

Schritt 4

Multipliziere $\frac{2 (3 x - 1)}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2 (3 x - 1)}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (3 x - 1)}{3 \cdot 3}]$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Schritt 5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x + \frac{2 (3 x - 1)}{9}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Schritt 6

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 6.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Schritt 7

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$ .

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Schritt 7.1

Da $\frac{2}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{9} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$ .

$8 + \frac{2}{9} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 7.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$8 + \frac{2}{9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 7.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 + \frac{2}{9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 7.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 + \frac{2}{9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 7.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 + \frac{2}{9} (3 \cdot 1 + 0)$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$8 + \frac{2}{9} (3 + 0)$

Schritt 7.7

Addiere $3$ und $0$ .

$8 + \frac{2}{9} \cdot 3$

Schritt 7.8

Kombiniere $\frac{2}{9}$ und $3$ .

$8 + \frac{2 \cdot 3}{9}$

Schritt 7.9

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$8 + \frac{6}{9}$

Schritt 7.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

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Schritt 7.10.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$8 + \frac{3 (2)}{9}$

Schritt 7.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$8 + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Schritt 7.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Schritt 7.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 + \frac{2}{3}$

Schritt 8

Vereine die Terme

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Schritt 8.1

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 8.2

Kombiniere $8$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \cdot 3 + 2}{3}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{24 + 2}{3}$

Schritt 8.4.2

Addiere $24$ und $2$ .

$\frac{26}{3}$