Analysis Beispiele

$f (x) = 8 \cos (x) - 3 \sec (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 \cos (x) - 3 \sec (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sec (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sec (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \cos (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sec (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$8 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sec (x)]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 3 \sec (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \sec (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \sec (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 8 \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 8 \sin (x) - 3 \sec (x) \tan (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$- 3 \sec (x) \tan (x) - 8 \sin (x)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 3 \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - 8 \sin (x)$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{- 3}{\cos (x)} \tan (x) - 8 \sin (x)$

Schritt 4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{\cos (x)} \tan (x) - 8 \sin (x)$

Schritt 4.2.4

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{3}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 8 \sin (x)$

Schritt 4.2.5

Multipliziere $- \frac{3}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{3}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 3}{\cos (x) \cos (x)} - 8 \sin (x)$

Schritt 4.2.5.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 3}{\cos^{1} (x) \cos (x)} - 8 \sin (x)$

Schritt 4.2.5.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 3}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} - 8 \sin (x)$

Schritt 4.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sin (x) \cdot 3}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - 8 \sin (x)$

Schritt 4.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 3}{\cos^{2} (x)} - 8 \sin (x)$

Schritt 4.2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$- \frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 8 \sin (x)$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$- \frac{3 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - 8 \sin (x)$

Schritt 4.3.2

Separiere Brüche.

$- (\frac{3}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 8 \sin (x)$

Schritt 4.3.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$- (\frac{3}{\cos (x)} \tan (x)) - 8 \sin (x)$

Schritt 4.3.4

Separiere Brüche.

$- (\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)) - 8 \sin (x)$

Schritt 4.3.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- (\frac{3}{1} \sec (x) \tan (x)) - 8 \sin (x)$

Schritt 4.3.6

Dividiere $3$ durch $1$ .

$- (3 \sec (x) \tan (x)) - 8 \sin (x)$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \sec (x) \tan (x) - 8 \sin (x)$