Analysis Beispiele

$f (x) = 8 \ln ({(x)}^{\frac{7}{2}})$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \ln (x^{\frac{7}{2}})$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{7}{2}})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{7}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{\frac{7}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{7}{2}}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$8 (\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}$ und $8$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}}$ mit $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 (7 x^{\frac{5}{2}})}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$\frac{56 x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

Schritt 10.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{56 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 10.3

Bringe $x^{\frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{56}{2 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{5}{2}}}$

Schritt 11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.1

Multipliziere $x^{\frac{7}{2}}$ mit $x^{- \frac{5}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.1

Bewege $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{56}{2 (x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{7}{2}})}$

Schritt 11.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{56}{2 x^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}}}$

Schritt 11.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{56}{2 x^{\frac{- 5 + 7}{2}}}$

Schritt 11.1.4

Addiere $- 5$ und $7$ .

$\frac{56}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{56}{2 x^{1}}$

Schritt 11.2

Vereinfache $2 x^{1}$ .

$\frac{56}{2 x}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $56$ und $2$ .

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $56$ heraus.

$\frac{2 \cdot 28}{2 x}$

Schritt 12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 \cdot 28}{2 (x)}$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 28}{2 x}$

Schritt 12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{28}{x}$