Analysis Beispiele

$f (x) = 7 x^{4} x^{\frac{1}{2}} + (- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{4} x^{\frac{1}{2}} + (- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{4} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{4} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{4} x^{\frac{1}{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{2}} x^{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.1.3

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.1.4

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 4 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.1.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 8}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.1.6.2

Addiere $1$ und $8$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{\frac{9}{2}}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{9}{2}$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $x^{\frac{7}{2}}$ .

$7 \frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.9

Kombiniere $7$ und $\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$ .

$\frac{7 (9 x^{\frac{7}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $9$ mit $7$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{0.5}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2 + 0.5}}]$

Schritt 3.1.2

Addiere $2$ und $0.5$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2.5}}]$

Schritt 3.2

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8}{x^{2.5}}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2.5}}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2.5}}]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{1}{x^{2.5}}$ als ${(x^{2.5})}^{- 1}$ um.

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 \frac{d}{d x} [{(x^{2.5})}^{- 1}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2.5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2.5}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2.5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- {(x^{2 + 0.5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

Schritt 3.4.3.2

Addiere $2$ und $0.5$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- {(x^{2.5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2.5$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- {(x^{2.5})}^{- 2} (2.5 x^{1.5}))$

Schritt 3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2.5})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- x^{2.5 \cdot - 2} (2.5 x^{1.5}))$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2.5$ mit $- 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- x^{- 5} (2.5 x^{1.5}))$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2.5$ mit $- 1$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 x^{- 5} x^{1.5})$

Schritt 3.8

Multipliziere $x^{- 5}$ mit $x^{1.5}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Bewege $x^{1.5}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 (x^{1.5} x^{- 5}))$

Schritt 3.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 x^{1.5 - 5})$

Schritt 3.8.3

Subtrahiere $5$ von $1.5$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 x^{- 3.5})$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 2.5$ mit $- 8$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + 20 x^{- 3.5}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + 20 \frac{1}{x^{3.5}}$

Schritt 4.2

Kombiniere $20$ und $\frac{1}{x^{3.5}}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{20}{x^{3.5}}$