Analysis Beispiele

$f (x) = 4 arccsc (10 x^{- 1})$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 arccsc (10 x^{- 1})$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [arccsc (10 x^{- 1})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [arccsc (10 x^{- 1})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arccsc (x)$ und $g (x) = 10 x^{- 1}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $10 x^{- 1}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $arccsc (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$4 (- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $10 x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{{(10 x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x^{- 1}$ heraus.

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{{(10 (x^{- 1}))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $10 (x^{- 1})$ an.

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{10^{2} {(x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 {(x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 x^{- 1 \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Schritt 3.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Schritt 3.2.1.4

Bringe $x^{- 1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$4 (- \frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 (\frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ und $- 4$ .

$\frac{x \cdot - 4}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Schritt 3.2.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 4 \cdot x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $10$ .

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x)}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Schritt 3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x)}{2 (5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Schritt 3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 2 x)}{2 (5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Schritt 3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Schritt 3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Schritt 3.3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x^{- 1}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$- 10 \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $- 10$ und $\frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ .

$\frac{- 10 (2 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$\frac{- 20 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $5$ .

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Schritt 3.4.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 20 x$ heraus.

$\frac{5 (- 4 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}$ heraus.

$\frac{5 (- 4 x)}{5 (\sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- 4 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} (- x^{- 2})$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} x^{- 2}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ mit $1$ .

$\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} x^{- 2}$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ und $x^{- 2}$ .

$\frac{4 x \cdot x^{- 2}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Schritt 4

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$\frac{4 (x^{- 2} x)}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 (x^{- 2} x^{1})}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{- 2 + 1}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Schritt 4.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\frac{4 x^{- 1}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Schritt 5

Bringe $x^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1} x}$

Schritt 6

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{x \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$