Analysis Beispiele

$f (x) = 49 x {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 1

Da $49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $49 x {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $49 \frac{d}{d x} [x {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}]$ .

$49 \frac{d}{d x} [x {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$ .

$49 (x \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}] + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ und $g (x) = 7 x^{2} + 10$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 x^{2} + 10$ .

$49 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$49 (x (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $7 x^{2} + 10$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und ${(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}}$ .

$49 (x (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ und $x$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10] + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{2} + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 10

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 12

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (14 x + \frac{d}{d x} [10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 13

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (14 x + 0) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.1

Addiere $14 x$ und $0$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (14 x) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 14.2

Kombiniere $14$ und $\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2}$ .

$49 (\frac{14 (5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} x + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $5$ mit $14$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} x + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 14.4

Kombiniere $\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$ und $x$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x) x}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} (x^{1} x))}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} (x^{1} x^{1}))}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{1 + 1})}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 18

Addiere $1$ und $1$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 19

Faktorisiere $2$ aus $70 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ heraus.

$49 (\frac{2 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 20.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$49 (\frac{2 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 (1)} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$49 (\frac{2 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 20.3

Forme den Ausdruck um.

$49 (\frac{35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{1} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 20.4

Dividiere $35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ durch $1$ .

$49 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 21

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$49 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1)$

Schritt 22

Mutltipliziere ${(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$ mit $1$ .

$49 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 23

Vereinfache.

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Schritt 23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$49 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2}) + 49 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 23.2

Mutltipliziere $35$ mit $49$ .

$1715 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + 49 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 23.3

Stelle die Terme um.

$1715 x^{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} + 49 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$