Analysis Beispiele

$f (x) = - 4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos^{3} (x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos^{3} (x)$ .

$- 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 4 (\sin (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 4 (\sin (x) (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2.7

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2.8

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2.10

Addiere $1$ und $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2.11

Multipliziere $\cos^{3} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $\cos^{3} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2.11.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{3 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 2.11.2

Addiere $3$ und $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]$

Schritt 3.2

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Schritt 3.6

Multipliziere $\sin^{3} (x)$ mit $\sin (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1

Bewege $\sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{3} (x)$ .

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Schritt 3.6.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Schritt 3.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 ({\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Schritt 3.6.3

Addiere $1$ und $3$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Schritt 3.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sin^{4} (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Schritt 3.8

Schreibe $- 1 \sin^{4} (x)$ als $- \sin^{4} (x)$ um.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Schritt 3.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) (\cos^{1} (x) \cos (x)))$

Schritt 3.10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)))$

Schritt 3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) {\cos (x)}^{1 + 1})$

Schritt 3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x)) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$12 (\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x)) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 12 (\sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Schritt 4.3.4

Stelle die Faktoren von $- 12 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ um.

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Schritt 4.3.5

Subtrahiere $12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ von $12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

$0 - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Schritt 4.3.6

Subtrahiere $4 \cos^{4} (x)$ von $0$ .

$- 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Schritt 4.4

Schreibe $4 \sin^{4} (x)$ als ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ um.

$- 4 \cos^{4} (x) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Schritt 4.5

Schreibe $4 \cos^{4} (x)$ als ${(2 \cos^{2} (x))}^{2}$ um.

$- {(2 \cos^{2} (x))}^{2} + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Schritt 4.6

Stelle $- {(2 \cos^{2} (x))}^{2}$ und ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ um.

${(2 \sin^{2} (x))}^{2} - {(2 \cos^{2} (x))}^{2}$

Schritt 4.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 \sin^{2} (x)$ und $b = 2 \cos^{2} (x)$ .

$(2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Schritt 4.8

Faktorisiere $2$ aus $2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$(2 (\sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Schritt 4.9

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos^{2} (x)$ heraus.

$(2 (\sin^{2} (x)) + 2 (\cos^{2} (x))) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Schritt 4.10

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sin^{2} (x)) + 2 (\cos^{2} (x))$ heraus.

$2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Schritt 4.11

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$2 \cdot 1 (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 (2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x))$

Schritt 4.14

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 \sin^{2} (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \sin^{2} (x) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$

Schritt 4.16

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)$