Analysis Beispiele

$f (x) = 4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Schritt 1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ .

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{x}{2} + 1)]$

Schritt 3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (\frac{x}{2} + 1)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$ .

$0 - 2 x - \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2} + 1$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + 0))$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} + 0))$

Schritt 3.9

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $\frac{1}{\frac{x}{2} + 1}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$0 - 2 x - \frac{1}{(\frac{x}{2} + 1) \cdot 2}$

Schritt 3.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - \frac{1}{2 (\frac{x}{2} + 1)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 - 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{2}$ .

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$- 2 x - \frac{1}{x + 2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 x - \frac{1}{x + 2}$

Schritt 4.2.5

Um $- 2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$- 2 x \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

Schritt 4.2.6

Kombiniere $- 2 x$ und $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{- 2 x (x + 2)}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

Schritt 4.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 x (x + 2) - 1}{x + 2}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 1}{x + 2}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2}) - 4 x - 1}{x + 2}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2}) - (4 x) - 1}{x + 2}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - (4 x)$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1}{x + 2}$

Schritt 4.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)}{x + 2}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

Schritt 4.9

Schreibe $- (2 x^{2} + 4 x + 1)$ als $- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)$ um.

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

Schritt 4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x^{2} + 4 x + 1}{x + 2}$