Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 1}$ als ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8.3

Bringe ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 12

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 12.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 12.3

Kombiniere $\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$4 (\frac{2 x^{2} x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (\frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (\frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 15

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Addiere $1$ und $2$ .

$4 (\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 15.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Schritt 17

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)$

Schritt 18

Vereinige $\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Bewege ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 18.2

Um $2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19

Multipliziere ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Bewege ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20

Vereinfache $2 x {(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (x^{3} + 2 x (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x \cdot x^{2}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.3.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 (x^{2} x)) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.3.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 (x^{2} x^{1})) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x^{2 + 1}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.3.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x^{3}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} + 4 (- 2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.3.2

Addiere $4 x^{3}$ und $8 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4

Faktorisiere $4 x$ aus $12 x^{3} - 8 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.4.1

Faktorisiere $4 x$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$\frac{4 x (3 x^{2}) - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{4 x (3 x^{2}) + 4 x (- 2)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (3 x^{2}) + 4 x (- 2)$ heraus.

$\frac{4 x (3 x^{2} - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$