Analysis Beispiele

$f (x) = 4 {(\ln (x) + 3)}^{4} + {(\ln (x) + 3)}^{3} + 2$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 {(\ln (x) + 3)}^{4} + {(\ln (x) + 3)}^{3} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}]$ .

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 {(\ln (x) + 3)}^{4}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \ln (x) + 3$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (x) + 3$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (x) + 3$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (x) + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3])) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3])) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{1}{x} + 0)) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.6

Addiere $\frac{1}{x}$ und $0$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.7

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $4$ .

$4 (\frac{4}{x} {(\ln (x) + 3)}^{3}) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{4}{x}$ und ${(\ln (x) + 3)}^{3}$ .

$4 \frac{4 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.9

Kombiniere $4$ und $\frac{4 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x}$ .

$\frac{4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3})}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \ln (x) + 3$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\ln (x) + 3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (x) + 3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (x) + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{1}{x} + 0) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.5

Addiere $\frac{1}{x}$ und $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3}{x} {(\ln (x) + 3)}^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{3}{x}$ und ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + 0$

Schritt 5.1.2

Addiere $\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$ und $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ aus $16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ aus $16 {(\ln (x) + 3)}^{3}$ heraus.

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ aus $3 {(\ln (x) + 3)}^{2}$ heraus.

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + {(\ln (x) + 3)}^{2} \cdot 3}{x}$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ aus ${(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + {(\ln (x) + 3)}^{2} \cdot 3$ heraus.

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3) + 3)}{x}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 16 \cdot 3 + 3)}{x}$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 48 + 3)}{x}$

Schritt 5.2.4

Addiere $48$ und $3$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 51)}{x}$