Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3 x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x (1 - e^{x})$ und $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x (1 - e^{x})] - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 - e^{x}$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x \frac{d}{d x} [1 - e^{x}] + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x \frac{d}{d x} [- e^{x}] + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- \frac{d}{d x} [e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + (1 - e^{x}) \cdot 1) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $1 - e^{x}$ mit $1$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 8

Kombiniere $3$ und $\frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) + (- x \cdot 1 - x (- e^{x})) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x \cdot 1 e^{x} - x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (- x e^{x} + 1 - e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.2

Multipliziere $(1 + e^{x}) (- x e^{x} + 1 - e^{x})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{3 (1 (- x e^{x}) + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.1.3.1

Mutltipliziere $- x e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.3.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.3.3

Mutltipliziere $- e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{x} (x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.3.5

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.1.3.5.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - (e^{x} e^{x}) x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.3.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{x + x} x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.3.5.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.3.6

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.3.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{x} e^{x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.3.8

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.1.3.8.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - (e^{x} e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.3.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{x + x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.3.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{2 x}$ .

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Schritt 9.4.1.4.1

Addiere $- e^{x}$ und $e^{x}$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x + 0 - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.4.2

Addiere $- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x$ und $0$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (- x e^{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 - 3 (e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 - 3 (e^{2 x} x) - 3 e^{2 x} + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.7

Entferne die Klammern.

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} + 3 (- x e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 (x e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.10

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.1.10.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- (e^{x} e^{x})))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.10.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- e^{x + x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.10.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- 1 \cdot - 1 x e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (1 x e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.1.13

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 x e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 x e^{2 x}$ .

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Schritt 9.4.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $- 3 e^{2 x} x$ und $3 x e^{2 x}$ neu an.

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 e^{2 x} x}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.2.2

Addiere $- 3 e^{2 x} x$ und $3 e^{2 x} x$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 + 0 - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.2.3

Addiere $- 3 x e^{x} + 3$ und $0$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.4.3

Subtrahiere $3 x e^{x}$ von $- 3 x e^{x}$ .

$\frac{- 6 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 6 e^{x} x + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.6

Faktorisiere $3$ aus $- 6 e^{x} x + 3 - 3 e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 9.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 e^{x} x$ heraus.

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.6.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1) - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.6.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3 e^{2 x}$ heraus.

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1) + 3 (- e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.6.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1)$ heraus.

$\frac{3 (- 2 e^{x} x + 1) + 3 (- e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.6.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 2 e^{x} x + 1) + 3 (- e^{2 x})$ heraus.

$\frac{3 (- 2 e^{x} x + 1 - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 e^{x} x$ heraus.

$\frac{3 (- (2 e^{x} x) + 1 - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.8

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{3 (- (2 e^{x} x) - 1 (- 1) - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 e^{x} x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1) - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{2 x}$ heraus.

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1) - (e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 e^{x} x - 1) - (e^{2 x})$ heraus.

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.12

Schreibe $- (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})$ als $- 1 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})$ um.

$\frac{3 (- 1 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 9.14

Stelle die Faktoren in $- \frac{3 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ um.

$- \frac{3 (2 x e^{x} - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$