Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{4 h}{x (x + h)}$

Schritt 1

Da $- \frac{4}{x}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 h}{x (x + h)}$ nach $h$ gleich $- \frac{4}{x} \frac{d}{d h} [\frac{h}{x + h}]$ .

$- \frac{4}{x} \frac{d}{d h} [\frac{h}{x + h}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [\frac{f (h)}{g (h)}]$ gleich $\frac{g (h) \frac{d}{d h} [f (h)] - f (h) \frac{d}{d h} [g (h)]}{{g (h)}^{2}}$ ist mit $f (h) = h$ und $g (h) = x + h$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{(x + h) \frac{d}{d h} [h] - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{(x + h) \cdot 1 - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x + h$ mit $1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h (0 + \frac{d}{d h} [h])}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d h} [h]$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \frac{d}{d h} [h]}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \cdot 1}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $h$ von $h$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + 0}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 3.7.3

Addiere $x$ und $0$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 3.7.4

Mutltipliziere $\frac{x}{{(x + h)}^{2}}$ mit $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{{(x + h)}^{2} x}$

Schritt 3.7.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{4 \cdot x}{{(x + h)}^{2} x}$

Schritt 3.7.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.7.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 x}{{(x + h)}^{2} x}$

Schritt 3.7.6.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4}{{(x + h)}^{2}}$