Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{3} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 4.2

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ heraus.

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $- 3 \sin (x)$ heraus.

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ heraus.

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Schritt 4.3

Stelle $\cos^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Schritt 4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Schritt 4.7

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Schritt 4.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Schritt 4.9

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.9.1

Bewege $\sin^{2} (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Schritt 4.9.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ .

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Schritt 4.9.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

Schritt 4.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Schritt 4.9.3

Addiere $2$ und $1$ .

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$