Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \arctan (x) - x^{3}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \arctan (x) - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \arctan (x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \arctan (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$3 \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} - (3 x^{2})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} - 3 x^{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.1

Um $- 3 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} - 3 x^{2} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $- 3 x^{2}$ und $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 3 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 x^{2} (1 + x^{2}) + 3}{x^{2} + 1}$