Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \tan (\sqrt{3 x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [3 \tan ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [3 \tan ({(3 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.2.2

Wende die Produktregel auf $3 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [3 \tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3

Da $3^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4

Potenziere $3$ mit $1$ .

$3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3^{\frac{1}{2} + 1} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3^{\frac{1 + 2}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 14

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 15

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2}$ und $\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 16

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$