Analysis Beispiele

$f (x) = 300 - x - \frac{3 x}{x + 2}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $300 - x - \frac{3 x}{x + 2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [300] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x + 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [300] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x + 2}]$

Schritt 1.2

Da $300$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $300$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x + 2}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x + 2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x + 2}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x + 2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x + 2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 x}{x + 2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$ .

$0 - 1 - 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 2$ .

$0 - 1 - 3 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 - 3 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$0 - 1 - 3 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 - 3 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - 1 - 3 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$0 - 1 - 3 \frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.8

Addiere $1$ und $0$ .

$0 - 1 - 3 \frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1 - 3 \frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.10

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 - 1 - 3 \frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.11

Addiere $0$ und $2$ .

$0 - 1 - 3 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.12

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$0 - 1 + \frac{- 3 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$0 - 1 + \frac{- 6}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - 1 - \frac{6}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1 - \frac{6}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$- \frac{6}{{(x + 2)}^{2}} - 1$