Analysis Beispiele

$f (x) = 30 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t$

Schritt 1

Schreibe ${(65 + 5 t)}^{2}$ als $(65 + 5 t) (65 + 5 t)$ um.

$\frac{d}{d t} [30 ((65 + 5 t) (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Schritt 2

Multipliziere $(65 + 5 t) (65 + 5 t)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d t} [30 (65 (65 + 5 t) + 5 t (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d t} [30 (65 \cdot 65 + 65 (5 t) + 5 t (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d t} [30 (65 \cdot 65 + 65 (5 t) + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $65$ mit $65$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 65 (5 t) + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $65$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $65$ mit $5$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Schritt 3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 t \cdot t) - 1300 t]$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1

Bewege $t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 (t \cdot t)) - 1300 t]$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 t^{2}) - 1300 t]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 25 t^{2}) - 1300 t]$

Schritt 3.2

Addiere $325 t$ und $325 t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2}) - 1300 t]$

Schritt 4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $30 (4225 + 650 t + 25 t^{2}) - 1300 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})]$ .

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Schritt 5.1

Da $30$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})$ nach $t$ gleich $30 \frac{d}{d t} [4225 + 650 t + 25 t^{2}]$ .

$30 \frac{d}{d t} [4225 + 650 t + 25 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Schritt 5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4225 + 650 t + 25 t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4225] + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]$ .

$30 (\frac{d}{d t} [4225] + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Schritt 5.3

Da $4225$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4225$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$30 (0 + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Schritt 5.4

Da $650$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $650 t$ nach $t$ gleich $650 \frac{d}{d t} [t]$ .

$30 (0 + 650 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Schritt 5.6

Da $25$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $25 t^{2}$ nach $t$ gleich $25 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + 25 \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Schritt 5.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $650$ mit $1$ .

$30 (0 + 650 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Schritt 5.9

Addiere $0$ und $650$ .

$30 (650 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$30 (650 + 50 t) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Schritt 6

Berechne $\frac{d}{d t} [- 1300 t]$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1300$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1300 t$ nach $t$ gleich $- 1300 \frac{d}{d t} [t]$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300 \cdot 1$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1300$ mit $1$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$30 \cdot 650 + 30 (50 t) - 1300$

Schritt 7.2

Vereine die Terme

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $30$ mit $650$ .

$19500 + 30 (50 t) - 1300$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $50$ mit $30$ .

$19500 + 1500 t - 1300$

Schritt 7.2.3

Subtrahiere $1300$ von $19500$ .

$1500 t + 18200$