Analysis Beispiele

$f (x) = - 30 {(3 x - 6)}^{- 2}$

Schritt 1

Da $- 30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 30 {(3 x - 6)}^{- 2}$ nach $x$ gleich $- 30 \frac{d}{d x} [{(3 x - 6)}^{- 2}]$ .

$- 30 \frac{d}{d x} [{(3 x - 6)}^{- 2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = 3 x - 6$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 6$ .

$- 30 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [3 x - 6])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 30 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 6])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 6$ .

$- 30 (- 2 {(3 x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 6])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 30$ .

$60 ({(3 x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 6])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.6

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (3 + 0)$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} \cdot 3$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $60$ .

$180 {(3 x - 6)}^{- 3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$180 \frac{1}{{(3 x - 6)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 6$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$180 \frac{1}{{(3 (x) - 6)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$180 \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 2)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 2$ heraus.

$180 \frac{1}{{(3 (x - 2))}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $3 (x - 2)$ an.

$180 \frac{1}{3^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 4.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$180 \frac{1}{27 {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $9$ aus $180$ heraus.

$9 (20) \frac{1}{27 {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $9$ aus $27 {(x - 2)}^{3}$ heraus.

$9 (20) \frac{1}{9 (3 {(x - 2)}^{3})}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \cdot 20 \frac{1}{9 (3 {(x - 2)}^{3})}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$20 \frac{1}{3 {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 4.4

Kombiniere $20$ und $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{20}{3 {(x - 2)}^{3}}$